WFST在语音识别中的应用，要从Mohri的《Weighted Finite-State Transducers in Speech Recognition》这篇论文开始说起。首先看下面简单的WFST图，它是一个有向图，状态转移弧上有输入符号、输出符号以及对应的权重值。下图中的输入符号和输出符号相同，当然在多数情况下它们是不相同的，在语音识别中，输入可能是发声的声韵母，输出是一个个汉字或词语。

WFST的基本操作

WFST是基于半环代数理论的，详细的半环理论可以看上面Mohri的论文或者找其它资料学习。简单的一个半环代数结构定义为

，它包含元素集合K，两个基本操作和两个基本单元。半环必须满足以下定理：

在语音识别中经常使用的有Log半环和热带半环：

⊕log is defined by: x ⊕log y = −log(e−x + e−y).

合并操作

合并操作用于将两个WFST合并成，合并可以用于存在多个WFST时，将它们合并到一个WFST，用于语音识别中。如下，将A和B

组合操作

组合操作用于合并不同层次的WFST，用于将前一个WFST的输出符号同后一个WFST的输入符号做合并，生成由前一个WFST的输入符号到后一个WFST输出符号的状态机。假设WFST A中有一条转移弧，输入x，输出y，权重是a；WFST B中有一条转移弧，输入是y，输出是z，权重是b，那么A和B的组合后，就会生成一条输入是x，输出是z，权重为ab。下图为对a和b做组合操作

确定化操作

确定化操作用于去除WFST的冗余，对于WFST的每一个状态，它的每一个状态对于同一个输入符号，只有一个转移弧。确定化的加权有限状态器的优势在于它的非冗余性，对于确定化的加权有限状态器，一个给定的输入符号序列最多只有一条路径与其对应，这样可以降低搜索算法的时间和空间复杂度。下图为对a做确定化操作，得到b

权重推移

权重前推操作将转移弧的权重都向加权有限状态器的初始状态推移，这样在采用搜索算法去找到最大或者最小路径时，可以在早期就丢弃一些不可能的路径。下图为对a做权重前推操作，得到b

WFST在语音识别中的应用

在语音识别中，隐马尔可夫模型（HMM）、发音词典（lexicon）、n-gram语言模型都可以通过WFST来表示。对于语音识别，其目标函数是：

其中p(O|W)为声学模型，p(W)为语言模型。将上述公式贝叶斯展开：

其中V是音素序列，P(V|W)表示单词W的发音概率。另外，P(O|V,W)的概率只与V有关，P(O|V,W) = P(O|V)

在语音识别中，通常会对概率取log运算，所以上式等同于下面：

基于上述公式，可以将语音识别分成三个部分，如下：

采用知识源的方式替换上述的公式，得到：

一个完整的语言识别加权有限状态转换器可以表达为：

。在引入音素窗后，上式在H后增加音素窗的变化

。

通常N的组成由后往前进行，先进行LG的组合，再进行CLG的组合，最后进行HCLG的组合，即N = Min(H C Min(Det(L * G)))。

语言模型G

在语音识别中，语言模型用n-gram模型表示，常用的有bigram、trigram。n-gram模型与一个(n-1)阶马尔可夫链相似，所以可以用WFSA来表示。如下是一个简单的语言模型”start it”和“stop it”转成WFSA的示例：

发音词典模型L

发音词典模型表示一个单词有哪些音素序列串构成。当用WFST来表示L模型时，输入是音素串，到达终止状态时，输出一个相对应的单词。

上下文相关音子模型C

上下文相关音子模型用于将三音子序列转换为音素序列，这通常很容易构造，只需要输入三音子串，输出其central音素即可。

声学模型H

声学模型用HMM来进行建模，对于输入的MFCC特征，通过GMM或者DNN计算出当前帧对应的HMM发射态的概率。

将上述的HCLG通过组合以及相关的操作后，得到一个完整的解码图，配合GMM或者DNN模型去计算每一帧对应HMM状态的概率，采用Viterb或者beam-search算法，可以得到完整语音对应权重最小的文本，即为最后的解码结果。