图像的几何变换

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我们知道，图像是对三维实际景物的平面投影。为了观测需要，常常需要进行各种不同的几何变换。★注意一点，实际上几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置。

1．图像的平移

图像的平移非常简单，所用到的是中学学过的直角坐标系的平移变换公式：

x ‘ = x +dx

y’ = y + dy

注：(x,y)为源图像的坐标,(x’,y’)为新图像的坐标,dx对应x的偏移量,dy对应y的偏移量

2．图像的镜像

镜像分为水平镜像和垂直镜像

2．1>水平镜像计算公式如下（图像大小为M*N）：

x’ = x

y’ = N-1-y

2.2>垂直镜像计算公式为（图像大小为M*N）：

x’ = M-1 –x

y’ = y

3．图像的旋转

图像的旋转计算公式如下：
X’ = X *COS Q – Y *SIN Q X’ = X *COS Q – Y *SIN Q X’ = X *COS Q – Y *SIN Q X’ = X *COS Q – Y *SIN Q

Y’ = X *SIN Q + Y*COS Q

•这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。要用插值处理。

•这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在的范围不同。

若以（CX，CY）为中心，角度Q逆时针旋转。

X’ = (X – CX)*COS Q – (Y – YC)*SIN Q + CX

Y’ = (X – CX)*SIN Q + (Y – YC)*COS Q + CY

注：(x,y)为源图像的坐标,(x’,y’)为新图像的坐标

4．图像缩放

n设原图像大小为M*N,缩小为k1M*k2N，（k1<1，k2<1）。算法步骤如下：

1）设旧图像是F(i,j)， i=1,2,…,M, j=1,2,…,N.

新图像是I(x,y), x=1,2,…,k1M, y=1,2,…,k2N.

2）I(x,y)=F(c1*i,c2*j)

c1=1/k1

c2=1/k2

•这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。要用插值处理。

5．图像错切

图像的错切变换实际上是平面景物在投影平面上的非垂直投影效果。

n错切的计算公式如下：

5.1 x方向错切

X' = X + DX *Y

Y' = Y (其中DX = tan Q)

5.2 y方向错切
X' = X

Y' = Y + DY *X (其中DY = tan Q)

注：当在进行图象几何变换时，一般来说图象像数对应的而坐标值为正整数，在几何变换时，若出现了小数，就要进行插值处理。在这里解释线性插值处理。

实践已证明，插值算法对于缩放比例较小的情况是完全可以接受的，令人信服的。一般的，缩小0.5倍以上或放大3.0倍以下，对任何图像都是可以接受的。
最邻近插值（近邻取样法）：
最临近插值的的思想很简单。对于通过反向变换得到的的一个浮点坐标，对其进行简单的取整，得到一个整数型坐标，这个整数型坐标对应的像素值就是目的像素的像素值，也就是说，取浮点坐标最邻近的左上角点（对于DIB是右上角，因为它的扫描行是逆序存储的）对应的像素值。可见，最邻近插值简单且直观，但得到的图像质量不高

双线性内插值：
对于一个目的像素，设置坐标通过反向变换得到的浮点坐标为(i+u,j+v)，其中i、j均为非负整数，u、v为[0,1]区间的浮点数，则这个像素得值 f(i+u,j+v) 可由原图像中坐标为 (i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)所对应的周围四个像素的值决定，即：

f(i+u,j+v) = (1-u)(1-v)f(i,j) + (1-u)vf(i,j+1) + u(1-v)f(i+1,j) + uvf(i+1,j+1)

其中f(i,j)表示源图像(i,j)处的的像素值，以此类推。
这就是双线性内插值法。双线性内插值法计算量大，但缩放后图像质量高，不会出现像素值不连续的的情况。由于双线性插值具有低通滤波器的性质，使高频分量受损，所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊。
三次卷积法能够克服以上两种算法的不足，计算精度高，但计算亮大，他考虑一个浮点坐标(i+u,j+v)周围的16个邻点，目的像素值f(i+u,j+v)可由如下插值公式得到：

f(i+u,j+v) = [A] * [B] * [C]

[A]=[ S(u + 1)　S(u + 0)　S(u - 1)　S(u - 2) ]

┏ f(i-1, j-1)　f(i-1, j+0)　f(i-1, j+1)　f(i-1, j+2) ┓
[B]=┃ f(i+0, j-1)　f(i+0, j+0)　f(i+0, j+1)　f(i+0, j+2) ┃
┃ f(i+1, j-1)　f(i+1, j+0)　f(i+1, j+1)　f(i+1, j+2) ┃
┗ f(i+2, j-1)　f(i+2, j+0)　f(i+2, j+1)　f(i+2, j+2) ┛

┏ S(v + 1) ┓
[C]=┃ S(v + 0) ┃
┃ S(v - 1) ┃
┗ S(v - 2) ┛

┏ 1-2*Abs(x)^2+Abs(x)^3　　　　　 , 0<=Abs(x)<1
S(x)=｛ 4-8*Abs(x)+5*Abs(x)^2-Abs(x)^3　, 1<=Abs(x)<2
┗ 0　　　　　　　　　　　　　　　 , Abs(x)>=2
S(x)是对 Sin(x*Pi)/x 的逼近（Pi是圆周率——π）

最邻近插值（近邻取样法）、双线性内插值、三次卷积法等插值算法对于旋转变换、错切变换、一般线性变换和非线性变换都适用。

//灰度图象旋转,以CX，CY为中心点，Angle为旋转角度。

其中用到了图象旋转，双线性内插值算法。

void GrayImageRotate(LPBYTES,LPBYTED,intCx,intCy,doubleAngle) 
{ 
 double   vcos,vsin; 
 double   cx,cy,vx,vy,cntx,cnty; 
 int      off,off1,off2; 
 int      i,j,m,n; 
 double   an,svx,svy; 
 double   dx0,dy0,dx1,dy1,zz; 
 an   = Angle*3.14159/180.0; 
 vcos = cos(an); 
 vsin = sin(an); 
 cntx = (double)Cx; 
 cnty = (double)Cy; 
 cx = -cntx; cy = -cnty; 
 svx = cx*vcos-cy*vsin+cntx; 
 svy = cx*vsin+cy*vcos+cnty; 
 
 off=0; 
 
 for(i=0;i<ImageHeight;i++) 
 { 
   vx = svx; vy = svy; 
   for(j=0;j<ImageWidth;j++) 
   { 
     m = (int)vx; n = (int)vy; 
     if((m<1)||(m>ImageWidth-2)||(n<1)||(n>ImageHeight-2)) 
     { D[off]=255;} 
     else 
     { 
       dx0 = vx-m; dy0 = vy-n; 
       dx1 = 1-dx0;dy1 = 1-dy0; 
       off1 = n*ImageWidth+m; 
       zz = 0; 
       zz = S[off1]*dx1*dy1; 
       off2 = off1+1;       
       zz += S[off2]*dx0*dy1; 
       off2 = off1+ImageWidth;  
       zz += S[off2]*dx1*dy0; 
       off2 = off1+ImageWidth+1; 
       zz += S[off2]*dx0*dy0; 
       if(zz>255) zz= 255; 
       if(zz<0) zz = fabs(zz); 
       D[off]=(int)zz; 
     } 
     off++; vx = vx +vcos; vy = vy+vsin; 
   } 
   svx=svx-vsin;svy=svy+vcos; 
 } 
}

/*函数名称：ImageRotate1

参数： S 原图象

D 旋转后的目标图象

fAngle 图象的旋转角度

说明：用邻近点插值算法旋转图象

void ImageRotate1(LPBYTES,LPBYTED,doublefAngle) 
{ 
  inti,j; 
  doublex,y,x0,y0,dx,dy,xc,yc; 
  xc=double(ImageWidth/2); 
  yc=double(ImageHeight/2); 
  x0=100000.0; 
  y0=0.0; 
  //计算图象的偏移量 
  GetRotateCoor(x0,y0,xc,yc,fAngle); 
  dx=xc-ImageWidth/2; 
  dy=yc-ImageHeight/2; 
  //新图象从旧图象中取点 
  for(i=0;i<ImageHeight;i++) 
  { 
    for(j=0;j<ImageWidth;j++) 
    { 
      //由新图象中的坐标得到原图象的坐标 
      x=j;y=i; 
      x=x+dx; 
      y=y+dy; 
      GetRotateCoor(x0,y0,x,y,-fAngle); 
      //如果原来的点在图象外面直接给一个空值 
      if(x<0||x>ImageWidth-1||y<0||y>ImageHeight-1) 
        D[j+i*ImageWidth]=0; 
      else 
        D[j+i*ImageWidth]=S[int(x)+int(y)*ImageWidth]; 
    } 
  } 
}

/*函数名称：GetRotateCoor

参数： x0,y0 基点

x,y 返回后的目标点

fAngle 旋转角度

说明：计算以基点为中心将目标点旋转一定角度后的坐标

void GetRotateCoor(doublex0,doubley0,double& x,double& y,doublefAngle) 
{ 
  doublef,fR; 
  fR=sqrt((x0-x)*(x0-x)+(y0-y)*(y0-y)); 
  f = GetAngle(x0,y0,x,y); 
  f+=fAngle; 
  x=x0+fR*cos(f); 
  y=y0+fR*sin(f); 
}

/*函数名称：g_Iden_GetAngle